Все Студенту - шпоры, доклады, рефераты, лабораторные, ргр

Этот критерий, разработанный в 1932 году американским ученым Г. Найквистом, дает правила, согласно которым по виду частотной характеристики разомкнутой цепи (W_гл(jw)) можно судить об устойчивости замкнутой системы.

Рассмотрим структурную схему САУ в виде:

Рис. 4.14

Передаточная функция замкнутой САУ выражается через W(s):

Ф

Пусть , где M(s) и Q(s) многочлены от S, причем степень многочлена M(s) - m меньше степени многочлена Q(s) - n. Тогда

Ф

(4.33)

Многочлен D(s) является характеристическим многочленом замкнутой системы, а Q(s) – характеристическим многочленом разомкнутой цепи этой системы. Степени этих многочленов равны.

А. Рассмотрим случаи, когда система устойчива в разомкнутом состоянии и когда система с разомкнутой цепью неустойчива. Эти случаи соответствуют САУ без астатизма.

Рассмотрим функцию W₁(s)=1+W(s), подставим s=jw, получим

(4.34)

Из критерия Михайлова следует, что замкнутая САУ будет устойчивой, если изменение аргумента D(jw) при равно .

Если разомкнутая цепь устойчива, то по критерию Михайлова изменение аргумента Q(jw) при равно .

В этом случае изменение аргумента W₁(jw) должно быть:

, (4.35)

при изменении .

Это значит, что годограф W₁(jw) не должен охватывать начала координат (рис.4.15,а). Вернемся теперь к функции W(jw)=W₁(jw)-1, которая представляет собой АФЧХ разомкнутой цепи (рис.4.15,б).

Рис. 4.15	Рис. 4.16

Отсюда получаем следующую формулировку частотного критерия Найквиста.

Если разомкнутая цепь системы устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой цепи не охватывала точку с координатами (-1,j0) (см рис. 4.15,б ) при изменении частоты ω от 0 до ¥.

График на рисунке 4.15,б соответствует случаю, когда устойчивость нарушается только с увеличением коэффициента усиления разомкнутой цепи – К, а график на рис. 4.16,б – случаю, когда и при уменьшении К система может стать неустойчивой.

В случае очертания АФЧХ вида, представленного на рисунке 4.16,б - «неохват точки (-1,j0)» означает, что число пересечений АФЧХ оси абсцисс левее точки (-1,j0) сверху вниз (положительный переход) должно равняться числу пересечений снизу вверх (отрицательный переход).

Рассмотрим систему с неустойчивой разомкнутой цепью. Пусть характеристический многочлен Q(s) разомкнутой цепи имеет m корней с положительной вещественной частью (нулевого и мнимых корней Q(s) не имеет). Тогда изменение аргумента Q(jw) при равно:

, при .

(4.36)

Изменение аргумента функции 1+W(jw)=W₁(jw) в этом случае согласно критерию Михайлова для устойчивости замкнутой системы должно быть равно:

или , при

(4.37)

Это значит, что для устойчивости замкнутой системы требуется, чтобы левее точки (-1,j0) разность между числом положительных и числом отрицательных переходов АФЧХ разомкнутой цепи через ось абсцисс равнялась m/2 при изменении частоты .

Для определения устойчивости замкнутых САУ по АФЧХ Цыпкиным Я. З. сформулировано «правило переходов». На рис 4.17 показаны положительный и отрицательный переходы левее точки (-1,j0).

Рис. 4.17

Частотный критерий Найквиста в этом случае формулируется следующим образом:

Если разомкнутая цепь САУ неустойчива и ее характеристический многочлен Q(s) имеет m корней с положительной вещественной частью, то для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы W(jw) при изменении частоты w от 0 до ¥ охватывала точку (-1,j0) в положительном направлении m/2 раз.

Например, если передаточная функция разомкнутой цепи

имеет m=1 (один положительный полюс), то для устойчивости замкнутой системы АФЧХ разомкнутой цепи должна иметь вид, примерно как показано на рисунке 4.18,а, а в случае m=3 – как на рисунке 4.18,б. При этом начальная точка характеристики на оси абсцисс левее точки (-1,j0) считается как половина перехода.

а)	На рис. 4.18, а при m=1 имеем один положительный переход и отрицательного перехода, сумма переходов равна . Система устойчива. На рис. 4.18, б при m=3 имеем один положительный переход и плюс еще положительного перехода, сумма переходов равна 1, т.е .
б)
Рис. 4.18

Если в системе имеются местные обратные связи, то необходимо убедится в том, что по цепи местной обратной связи не нарушается устойчивость при разомкнутой главной обратной связи. Проверка устойчивости по цепи местной обратной связи может быть выполнена посредствам использования любых критериев устойчивости. Хотя теоретически вся система в замкнутом состоянии может быть устойчивой при наличии неустойчивости по цепи местной обратной связи, практически такой случай надо избегать, стремясь использовать только устойчивые местные обратные связи. В некоторых режимах работы при имеющихся в САУ нелинейностях в этом случае могут появиться автоколебания или произойдет потеря устойчивости.

Б. Система, нейтральная в разомкнутом состоянии.

Характеристический многочлен разомкнутой цепи Q(S) имеет нулевые корни, а остальные все корни имеют отрицательные вещественные части. Передаточная функция разомкнутой цепи W_гл (S) имеет соответственно нулевые полюса:

, m<n.

Это соответствует астатическим системам, причем, ν – порядок астатизма. У астатических разомкнутых систем, которые содержат интегрирующие звенья, амплитудно-фазовые характеристики W(jω) не образуют замкнутого контура.

АФЧХ разомкнутой системы будет иметь разрыв непрерывности в точке ω=0. В этой точке модуль А(0)→∞, а фаза делает скачок на -90⁰ (при изменении ). Для получения определенности в ходе АФЧХ необходимо отнести нулевой корень знаменателя передаточной функции W_гл (S) к левой полуплоскости корней. Рассмотрим сначала случай ν=1, т. е. . Плоскость корней Q(S) имеет вид, примерно как показано на рисунке 4.19.

Рис.. 4.19	Рис. 4.20

Подстановка S= jω при означает перемещение вдоль оси ω от точки 0 вверх (рис..). При этом, чтобы все корни оставить слева, обойдем точку 0, где расположен нулевой корень, по окружности бесконечно малого радиуса S=ρe^jφ , аргумент φ меняется .

Тогда при S→0 передаточная функция W(S) → может быть представлена в виде: , где и R→∞ при ρ→0. Следовательно, точке ω=0 плоскости корней соответствует на характеристике АФЧХ - W(jω) четверть окружности бесконечного радиуса (рис.4.20), т.е. приращению аргумента соответствует приращение аргумента

.

Поскольку все корни Q(S) оставались слева, то формулировка критерия устойчивости остается такой же, как и для случая устойчивой разомкнутой цепи.

Таким образом, для получения годографа W(jω), с помощью которого можно судить об устойчивости замкнутой САУ, имеющей интегрирующие звенья, необходимо:

- во-первых, построить АФЧХ разомкнутой цепи W(jω);

- во-вторых, дополнить эту характеристику дугой бесконечного радиуса величины ().

Если точка (-1,j0) расположена вне годографа, то система будет устойчива в замкнутом состоянии. Если система неустойчива в разомкнутом состоянии и имеет m правых корней, то для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы годограф W(jω) охватывал в положительном направлении точку (-1,j0) раз.

Одним из достоинств критерия Найквиста является то, что он может быть применен в случаях, когда неизвестны уравнения некоторых звеньев системы, либо, когда неизвестно уравнение всей разомкнутой системы, но АФЧХ разомкнутой системы может быть получена экспериментально. Кроме того, критерий Найквиста позволяет довольно просто исследовать устойчивость систем с запаздыванием.

Поскольку параметры системы определяют обычно приближенно, и в процессе работы они могут изменять свою величину, то важное значение имеет оценка удаления АФЧХ разомкнутой системы – W(jω) от точки (-1,j0). Это удаление определяет запас устойчивости системы, который характеризуется двумя величинами: запасом устойчивости по фазе и запасом устойчивости по амплитуде.

Запас устойчивости по фазе определяют как величину угла на частоте среза ω_с, при которой | W(jω_c) | =1.

Запас устойчивости по амплитуде определяют как величину отрезка оси абсцисс - ∆А, заключенного между критической точкой (-1;j0) и АФЧХ (рис. 4.21).

С ростом коэффициента усиления разомкнутой системы модуль АФЧХ растет и при некотором значении коэффициента усиления K=K_кр, называемого критическим коэффициентом усиления, АФЧХ пройдет через точку (-1;j0), т.е. система окажется на границе устойчивости. При K>K_кр система будет неустойчивой.

Рис. 4.21. Запасы устойчивости по амплитуде и фазе

В качестве иллюстрирующего примера применения критерия Найквиста рассмотрим следящую систему, изображенную на рисунке 4.22.

Ранее структурная схема этой системы использовалась для иллюстрации применения критериев устойчивости Гурвица и Михайлова.

Рис. 4.22. Принципиальная и структурная схемы следящей системы

На рисунке 4.22 изображены принципиальная и структурная схемы дистанционной следящей системы. В качестве чувствительного элемента использованы два сельсина (СД и СП), включенные по трансформаторной схеме. Передаточная функция сельсинов равна коэффициенту передачи схемы:

,

где - ошибка, равная разности углов поворота командной и исполнительной осей.

Передаточная функция усилителя:

,

где К₂ – коэффициент усиления и Т_у – постоянная времени усилителя.

Передаточная функция двигателя:

,

где - коэффициент передачи двигателя по скорости, а Т_м – электромеханическая постоянная времени двигателя совместно с оконечным каскадом усилителя.

Передаточная функция редуктора (Р) равна его коэффициенту передачи:

.

Так как цепь регулирования состоит из включенных последовательных звеньев, то передаточная функция разомкнутой цепи равна произведению передаточных функций отдельных звеньев:

,

(4.38)

где - коэффициент усиления разомкнутой цепи.

Из выражения (4.38) видно, что все корни знаменателя, кроме одного нулевого корня, лежат в левой полуплоскости. Поэтому в устойчивой системе АФЧХ вместе с окружностью бесконечно большого радиуса, начинающейся на вещественной положительной полуоси при не должна охватывать точку (-1,j0).

Частотная передаточная функция:

.

Модуль ее:

фаза .

Результат расчета:

w	A(w)	j(w)	U(w)=A(w)*cosj(w)	V(w)=A(w)*sinj(w)
0	¥	-900	-K(Ty+TM)	¥
…	…	…	…	…
¥	0	-2700	0	0

Примерный вид АФЧХ в случае устойчивой замкнутой системы изображен на рисунке 4.23.

Рис. 4.23. АФЧХ устойчивой следящей системы, изображенной на рис. 4.22

Задача получения устойчивости в рассматриваемой системе может быть решена в общем виде.

Из рисунка 4.23 следует, что для получения устойчивости точка «а» пересечения АФЧХ с осью вещественных должна лежать правее точки

(-1,j0). Это условие можно записать следующим образом: при .

Частоту w_a проще найти из выражения V(w)=0, откуда получаем .

Подставляя значение w_a в выражение для модуля А(w_a), после преобразования найдем:

.

Таким образом, получено условие устойчивости САУ, совпадающее с найденным ранее условием, вытекающим из критериев Гурвица и Михайлова.